Infinito, parte 1: Introducción y bienvenido a nuestro hotel

¿Me creerías si te dijera que en el Universo hay infinitas copias de ti mismo, en infinitas copias del planeta Tierra, leyendo infinitas copias de este mismo artículo, en este preciso instante? ¿Y que hay una infinita cantidad de copias mías que escribieron este mismo artículo en infinitas diferentes formas? Bueno, puede que estés entre la infinita cantidad de copias que no cree esas afirmaciones… o puede que estés entre la infinita cantidad que si lo cree. De eso depende en gran medida si consideras al Universo como un lugar infinito o no.

En esta serie de artículos acerca del infinito voy a comentar sus aspectos más interesantes, sus complejas problemáticas y sus insolubles paradojas. Espero que disfrutes de estos artículos y motiven tus ideas y pensamientos infinitamente. Y en caso de no ser así, ten la certeza de que en algún otro lugar del Universo, hay una copia exacta de ti mismo que sí disfrutó de los artículos. De hecho, existe una copia de ti mismo que se viste todos los días con un traje de conejo rosa gigante y para quien esta serie de artículos representa su vida entera. Incluso más adelante voy a darte las coordenadas exactas para que puedas encontrarte con esa copia tuya y preguntarle porque estos artículos son tan importantes para él (o porqué se viste todos los días como conejo rosa). No desesperes, mas adelante entenderás.

El infinito es un concepto abstracto demasiado complejo como para ser comprendido totalmente por la mente humana. En el artículo previo mencioné algunos números realmente enormes, tan gigantescos que parecen escapar a nuestra comprensión. Pues bien, esos números están tan cerca del infinito como lo está el número uno.


Introducirse en el complicado mundo del infinito puede ser peligroso, dado que es un concepto intangible plagado de problemáticas y paradojas. Y sucede que en la mayoría de los casos la idea de infinito se contradice con nuestro sentido común, se opone a la forma real en que observamos el mundo y las cosas a nuestro alrededor.

En un intento por explicar algunas de las perturbadoras paradojas del infinito, el matemático alemán David Hilbert creó un conjunto de metáforas basadas en la existencia de un hotel con infinitas habitaciones. Veamos de qué se trata el Hotel Infinito.

Supongamos que un hombre quisiera hospedarse en dicho hotel, pero entonces descubre que éste se encuentra lleno. Pues bien, esto no representaría ningún problema en un hotel con habitaciones infinitas. El administrador del hotel no podría ubicar al hombre en la última habitación, porque no hay última habitación, dado que el hotel es infinito. Pero es justamente por esta razón que se puede encontrar un lugar en el hotel para el hombre recién llegado. Todo lo que el administrador tiene que hacer es pedir a todos los huéspedes que revisen el numero de su habitación, a ese número le sumen uno y se muevan a ese nuevo número de habitación; de esa manera el nuevo huésped puede alojarse en la habitación número uno. La primer paradoja nos dice que no importa si el hotel infinito está lleno, siempre se puede encontrar una habitación libre; matemáticamente, esto representa que infinito más uno es igual a infinito.

¿Qué sucede entonces sí, aún estando el hotel lleno, en lugar de llegar un solo hombre para hospedarse en este, llegase un contingente de infinitas personas que desean alojarse en el hotel infinito? Esto tampoco representaría ningún problema. Lo único que el administrador tiene que hacer es pedir a todos los huéspedes que multipliquen el número de su habitación actual por dos y se muevan a ese nuevo número de habitación obtenido. De esta forma, todos los huéspedes se pueden ubicar en las habitaciones pares, mientras que todas las habitaciones impares quedan libres para ser utilizadas por los nuevos infinitos huéspedes. Dado que hay infinitos números impares, los infinitos huéspedes pueden alojarse sin problemas. Matemáticamente, esto significa que infinito más infinito es igual a infinito.

Si estamos de acuerdo en que dichas reglas se aplican a la suma, parecería correcto afirmar que también se aplican a la resta; podríamos entonces pensar que infinito menos uno es igual a infinito, y que infinito menos infinito también es igual a infinito. Pero la cuestión no es tan sencilla. Supongamos que todos los huéspedes del hotel se retiran por la mañana; el número de habitaciones ocupadas sería infinito menos infinito, pero el resultado en este caso sería cero. ¿O puede ser uno? Porque si todos los huéspedes se retiran pero uno decide quedarse, entonces en ese caso infinito menos infinito sería uno. No existe una respuesta definitiva en este caso, por lo que hay que ser muy cuidadoso cuando se emplea el concepto de infinito.

En la próxima entrega de esta serie de artículos les contaré acerca de algunas otras fascinantes propiedades del infinito. ¿Cómo podría un mono, sentado frente a una máquina de escribir, presionando las teclas de manera aleatoria, escribir la obra completa de Shakespeare? Lo veremos en el próximo artículo.